Clase sobre los Conjuntos

Conjuntos y elementos

Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto.

x A significa que x es un elemento del conjunto A.

x A significa que x no es un elemento del conjunto A.

B = A significa que A y B tienen los mismos elementos.

B A significa que B es un subconjunto de A; Cada elemento de B es también un elemento de A.

B A significa que B es un conjunto propio de A; es decir, B A, pero B ≠ A.

es el conjunto vacío, el conjunto con ningunos elementos, y es un subconjunto de cada conjunto.

Un conjunto finito es un conjunto que tiene un cierto número de elementos. Un conjunto infinito es un conjunto no está finito.

Ejemplos

b {a, b, c, d}

e {a, b, c, d}

{1, 2, 4, 5} = {2, 1, 5, 4}

{1, 2, 3} {1, 2, 3}

{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, ..., 1000} es un conjunto finito.

{1, 2, 3, ...} es un conjunto infinito.

Principio del formulario

Cada conjunto

es un subconjunto propio de sí mismo es un subconjunto de sí mismo no es un subconjunto de sí mismo

Final del formulario

Diagramas de Venn

Cada diagrama en el siguiente figura representa la relación muestra de abajo.

Ni A ni B un subconjunto del otro

Para ilustrar una inclusión propio, es disco que representa B debe ser más pequeña que el disco que representa A. Generalmente usamos, por sencillez, el dibujo que representa B A para representar también B A.

Ejemplo

La siguiente diagrama de Venn ilustra la relación entre los tres conjuntos

{marzo}, {marzo, abril, mayo}, y {junio, julio, agosto}.

Operaciones con conjuntos: unión, intersección, y complemento

La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B (o en ambos).

A B = {x | x A o x B}

Podemos representar la unión A B por la siguiente diagrama de Venn;

La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A y también en B.

A B = {x | x A y x B}

Podemos representar la intersección A B por la siguiente diagrama de Venn;

Si A es un subconjunto de S, entonces A' es el complemento de A en S, el conjunto de todos los elementos de S que no están en A.

Podemos representar el complemento A' por la siguiente diagrama de Venn:

 

Leyes de Morgan

(A B)' = A' B'
(A B)' = A' B'
y avance a la discusión después de Ejemplo 7 para ver los homólogos en lógica proposicional (¡y haga una visita al entero sitio de lógica ya que está en eso!).

Cardinalidad

Si A es un conjunto finito, entonces n(A), el número de elementos que contiene A, se llama la cardinalidad de A.
Si A y B son conjuntos finitos, entonces

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

En particular, si A y B son disjuntos (es decir, A B = ), entonces

n(A B) = n(A) + n(B).

Si S es un conjunto universal finito y A es un subconjunto de S, entonces

n(A') = n(S) - n(A) y n(A) = n(S) - n(A').

Si A y B son conjuntos finitos, entonces
n(A×B) = n(A)^.n(B)